作者:严家安(中国科学院院士，中国科学院数学与系统科学研究所研究员)
王国维在《人间词话》中提出:“词以境界为上。有一种境界，自成体系，自有名句。”他说:“有一个创作环境和一个写作环境，这就是‘理想’派和‘现实’派的区别。”据我所知，“创造环境”是基于想法和想象，“写环境”是描述现实的场景。王国维还把艺术家分为“现实主义者”和“理想主义者”，认为两者是相通的。他还写道:“诗人必须在宇宙内外。如果有涉及，可以写。在它之外，我们可以看到它。融入其中，于是有了生命。超越之，则高。”
数学家韦纳说，“数学是一门美术”。在我看来，数学和诗歌一样，也应该以境界为上来评价一个数学成果。在数学中，也有“创造环境”和“写作环境”之分。前者是“创造理论”，后者是“解决难题”。数学家也分为“现实主义者”和“理想主义者”。前者“沉浸其中”，以应用数学为主；后者是“超越外部”，专注于纯数学，但两者是互通的。
数学和诗歌有很多共性，下面总结为八点。
第一，数学和诗歌的来源是自然和社会。数学史家克莱因认为，“对自然的深入研究是数学发现最丰富的源泉。”
其次，数学和诗歌都追求和谐与简洁。诗歌是试图通过简洁的语言和节奏来表达诗人的感情和深刻的哲理。数学的和谐不言而喻。至于数学的简单性，一方面是将数学结果以简洁的命题或定理的形式表达出来；另一方面，数学家在研究过程中，寻求在较少的条件下得出尽可能广泛而深刻的结论，或者试图简化已有结果的证明。
第三，数学中的“对偶”类似于诗歌中的“对偶”。诗歌中的对偶可以使意境更加优美，抒情更加感人，哲理更加深刻。数学中的“二元性”使数学理论更加深刻和美好。数学中的“对偶”不仅是数学的结构和框架，也是一种思维方式和重要的证明工具和技巧。
第四，数学和诗歌创作都需要直觉和想象力。直觉是不经过有意识的推理对事物的理解和判断。当然，任何科学和艺术创作都需要直觉和想象力，但数学和诗歌更为突出。比如李白的诗《望庐山瀑布》，充满了直觉和想象。这种直觉和想象来源于诗人的形象思维。数学史家克莱恩说:“数学家在预测什么可以被证明时，使用了高度的直觉和想象力，就像在构思证明的方法时一样。”法国著名数学家庞加莱说:“我们依靠逻辑来证明它，但我们必须依靠直觉来发明它。”这里的“发明”是指提出问题、构思证明的方法。
第五，诗歌创作和数学研究都需要激情和灵感。诗人只有有激情，才能深化和放大自己的感情，宣泄自己的内心，作品才能打动人，感染人。对于数学研究来说，激情来自于对未知真理的好奇和对美的追求。灵感，也叫顿悟，是一种几乎无意识或潜意识的无逻辑创造性思维活动。灵感是对一个问题长期思考后突然迸发的思想火花，有时是在你全神贯注思考问题的时候，有时是在你不经意或无意识的时候。灵感有时来自不同现象的类比和联想。
第六，数学研究和诗歌创作都需要美感。法国数学家庞加莱在《数学创造》一文中形象地描述了数学美感在数学创造过程中的作用。他说:“各种数学概念下意识地碰撞组合，数学直觉从中选择有意义的组合，然后创造。.....潜意识做出选择时，使用的标准是数学美、数形和谐、几何优雅。”数学史家克莱因认为:“数学创造的主要动力是对美的追求。”
第七，“创新”是数学和诗歌共同的审美准则(即评价标准)。艺术家称之为“创新”的艺术风格。比如李白的诗“奔放，飘逸如仙”是浪漫主义风格；而杜甫的诗则“深邃曲折”，风格写实。对于数学研究来说，创新必须在一定的科学范围内具有重大意义。
第八，数学和诗歌的另一个共同的审美标准是《人间传奇》中提到的“境界最高”。数学的境界包括:1)大道至简，美在自然；2)简洁、和谐、对称、优雅；3)颠覆性创新；4)交叉、融合、统一。
下面是一些高层次的数学例子。首先是两个奇妙的数学公式。一个是欧拉公式eiπ+1=0，集成了数学中所有最基本的元素，其中1是自然数的单位，0是正负数的分界点，E是自然对数的底数，π是π，I是虚数单位。第二个是欧拉公式V+F-E=2，说明任何简单凸多面体，如果它的顶点数V加上上数F，减去边数E，必定等于2。这两个欧拉公式堪称“道简而美自然”。
数论中的三个著名猜想:“哥德巴赫猜想”(任何大于2的偶数都可以表示为两个素数之和)、“孪生数猜想”(有无限对素数的差等于2)和“黎曼猜想”(黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上实部为1/2的直线上)都是高层次数学的例子，虽然还没有被证明。再比如庞加莱猜想、费马大定理、四色定理、伽罗瓦群论、黎曼几何、哥德尔不完全性定理、伊藤清随机分析、香农信息论等。，都是“简洁、和谐、对称、优雅”高等数学的范例。
20世纪五六十年代，格罗滕迪克革新了代数几何，建立了“概率论”，这是一个颠覆性的创新。他因此获得了1966年的菲尔兹奖。在概率论的基础上，数学家们取得了一系列杰出的成就:1973年，德利涅证明了韦尔猜想(1978年获得菲尔兹奖)；1983年，faltings证明了莫德尔猜想(1986年获菲尔兹奖)；1995年怀尔斯证明费马大定理(1996年获菲尔兹特别奖)。
关于“交集、整合、统一”的数学境界，我举两个例子。一个是Atiyah-Singer指标定理:紧致流形上椭圆型偏微分算子的解析指标(与解之间的维数空)等于拓扑指标(由流形的拓扑性质决定)。第二个是Langlands计划，这是一种在数学中一些看似不相关的领域(数论、代数几何、约化群表示理论)之间建立本质联系的思想。这个计划是朗兰兹在1967年写给魏毅的一封信中提出的。法裔越南数学家吴宝珠因证明了朗兰兹程序的基本引理而获得2010年菲尔兹奖，朗兰兹本人也获得了2018年的阿贝尔奖(编者注:数学奖每年颁发一次，以纪念挪威数学家尼尔斯·亨里克·阿贝尔)。
我个人是学概率论和随机分析的。我试图用诗歌来分析我的职业内涵，写了一首诗《悟诗》:
随机不随机，概率破谜。
无序隐藏有序，统计解模糊。
下面是我的另一首关于概率论的科学诗《随机与概率》，希望能引起大家对概率论的关注和兴趣。
随机性和概率
熙熙攘攘人群中的朋友不期而遇，茫茫宇宙意外被陨石击中。
随机事件的发生不是随机的，概率解决了谜团。
反复的情境孕育着罕见的事件，历史的河流沉淀着自然的奇迹。
同学经常是同一天生日，所以彩票中奖者两次中奖并不奇怪。
抵押贷款，房产，汽车抵押，精致的设计需要概率的帮助。
保费计算基于概率模型，期权定价依赖于随机分析。
概率技能有助于破解密码，人工智能需要概率逻辑。
概率问题是日常生活中经常遇到的，学习一些概率知识会让你终身受益。
《光明日报》(2021年12月23日第16版)
来源:光明网-光明日报
温馨提示：注：内容来源均采集于互联网，不要轻信任何，后果自负，本站不承担任何责任。若本站收录的信息无意侵犯了贵司版权，请给我们来信(j7hr0a@163.com)，我们会及时处理和回复。
原文地址"数学的境界，数学是诗"：http://www.guoyinggangguan.com/xedk/115207.html。
微信扫描二维码关注官方微信
▲长按图片识别二维码
